Offensichtlich kennt nur Pi-hole die Namensauflösung für homebridge.
Die Beobachtung des Ausfalls von homebridge könnte zwei drei Ursachen haben:
1.) Der Homebridge-Server versucht die Namensauflösung über die in /etc/resolv.conf angegebenen DNS-Server, und diese kennen homebridge natürlich nicht.
Hier sollte Abhilfe zu schaffen sein, wenn Du den Server auf die Fritzbox oder Pi-hole änderst.
Im Falle einer statischen IP-Adressdefinition erledigst Du das auf Deinem RPi über
sudo nano /etc/dhcpcd.conf
Dort änderst Du die DNS-Server auf
domain_name_servers=127.0.0.1 192.168.200.1
Anschliessend solltest Du einen Reboot durchführen.
Da Pi-hole 4 noch standardmässig 127.0.0.1 konfiguriert hat, passt das zu Deiner Aussage, dass es früher funktionierte.
Seit Pi-hole 5 wird resolv.conf nicht mehr angepasst, da dies öfters zu Problemen bei Updates geführt hat und für Pi-hole auch nicht erforderlich ist, siehe Release Notes.
Offen ist dabei die Frage, woher die Einträge für nameserver 9.9.9.9 und 149.112.112.112 kommen.
Pi-hole tut diesbezüglich nichts, und die FB verteilt bei Dir über DHCP ihre eigene IP. Sofern Dein RPI ein (fixes) DHCP-Lease der FB bezieht, würde ich daher 192.168.200.1 in resolv.conf erwarten.
2.) Der DNS-Rebind-Schutz Deiner FB unterbindet die DNS-Antworten für homebridge.
Generell würde sie das für alle DNS-Antworten tun, die eine lokale IP-Adresse enthalten (bei Dir also aus dem Bereich 192.168.200.0/24).
In diesem Fall sollte Pi-hole in der FB als Ausnahme vom DNS-Rebind eingetragen werden.
Diesen Fall halte ich allerdings für wenig wahrscheinlich, da http://pi.hole bei Dir keine Probleme bereitet.
EDIT:
3.) Die Fritzbox kennt eine veraltete IP-Adresse für homebridge
Das haben wir bislang noch nicht geprüft:
nslookup homebridge 192.168.200.1
Da die FB in der Verarbeitungskette zuerst befragt wird, könnte es hier zu Fehlern kommen,.wenn die FB sich aus einer früheren Verwendung (z.B. Deinem 3B?) eine andere IP-Adresse für homebridge gemerkt hat.
Ich weiss für diesen Fall leider nicht, wie man die FB dazu bringen kann, das zu vergessen. 
Eine Möglichkeit zur Vermeidung wäre dann, Pi-hole als lokalen DNS-Server in der FB zu konfigurieren, damit Pi-hole die Anfragen als erster sieht (siehe z.B. Fritz!Box (DE) - Pi-hole documentation).
Ich würde die Fehlerbehebung also zunächst mit 1) versuchen. 